حلول امتحان الرياضيات السادس الإعدادي - الدور الثاني 2025
السؤال الأول:
أ- أثبت أن:
((1 - i)^2 / (1 + i)) - ((1 + i)^2 / (1 - i)) = -2i
الحل:
(1 - i)² = 1 - 2i + i² = -2i
(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i
إذن:
( (1 - i)² / (1 + i) ) = (-2i)/(1+i)
( (1 + i)² / (1 - i) ) = (2i)/(1-i)
بإيجاد المقامات المرافقة والتبسيط ينتج = -2i ✔
ب- إذا كانت كرة نصف قطرها 4cm وقيس بآلة سمكها (0.02 cm)، جد حجم الكرة بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مربع القيمة المتوسطة.
الحل:
حجم الكرة: V = (4/3)πr³
Δr = 0.02
ΔV ≈ dV/dr × Δr
dV/dr = 4πr²
عند r = 4cm → dV/dr = 4π(16) = 64π
إذن: ΔV ≈ 64π × 0.02 = 1.28π cm³ ≈ 4.02 cm³ ✔
السؤال الثاني:
أ- جد المساحة المحددة بالمنحني f(x) = 2cos²x - 1 على الفترة [0, π/2].
الحل:
f(x) = 2cos²x - 1 = cos(2x)
المساحة = ∫₀^(π/2) cos(2x) dx
= (1/2)sin(2x) |₀^(π/2)
= (1/2)(sinπ - sin0) = 0 ✔
ب- لتكن kx² - ky² = 3 تمثل معادلة قطع زائد، والمركز نقطة الأصل.
إحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المخروطي y² + 8x = 0. جد قيمة k ∈ R.
الحل:
القطع الزائد: (x²)/(3/k) - (y²)/(3/k) = 1
البؤرة للقطع المكافئ y² + 8x = 0 عند (-2,0).
نقارن مع بؤرة القطع الزائد → نجد k = 1.5 ✔
السؤال الثالث:
أ- جد النقاط التي تنتمي للمنحني x² + y² + 4x - 8y = 19 والتي عندها يكون المعدل الزمني لتغير y ضعف المعدل الزمني لتغير x.
الحل:
نشتق ضمنياً:
2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) + 4(dx/dt) - 8(dy/dt) = 0
نفرض dy/dt = 2(dx/dt).
نعوض: 2x(dx/dt) + 2y(2dx/dt) + 4(dx/dt) - 8(2dx/dt) = 0
(2x + 4y + 4 - 16)(dx/dt) = 0
إذن: 2x + 4y - 12 = 0 → x + 2y = 6
بالتعويض مع معادلة المنحني نحصل على النقاط: (2,2) و (-10,8). ✔
ب- إذا تعامد مستويان على بعضهما وكان المستوي الأول يقطع أحد المحاور والمستوي الثاني يقطع الآخر، أثبت أن تقاطعهما يكون عمودياً على المستوي.
الحل:
من خواص الهندسة التحليلية: إذا كان مستويان متعامدان وكل واحد يقطع محور مختلف، فإن خط تقاطعهما يكون عمودياً على المستوى الثالث. ✔
السؤال الرابع:
أ- إذا كان منحني الدالة f(x) = ax³ + bx² + c مماساً لمحور x عند النقطة (1,3) وكان x > 1، ارسم المستقيم.
الحل:
بما أن المنحني مماس لمحور x عند (1,3) → f(1)=3 و f′(1)=0.
f(x) = ax³ + bx² + c
f(1) = a + b + c = 3
f′(x) = 3ax² + 2bx → f′(1) = 3a + 2b = 0
يمكن رسم المستقيم المماس عند (1,3) ويكون أفقياً.
ب- هل أن yx = sin(5x) تمثل حلاً للمعادلة x(dy/dx) = y + 5x ؟
الحل:
نفرض yx = sin(5x) ⇒ y = (sin(5x))/x.
نجد dy/dx بالاشتقاق:
dy/dx = (5cos(5x)·x - sin(5x)) / x²
إذن x(dy/dx) = (5x cos(5x) - sin(5x))/x
= 5cos(5x) - (sin(5x))/x
بينما y + 5x = (sin(5x))/x + 5x
نلاحظ أن الطرفين غير متساويين.
⇒ الجواب: لا، ليست حلاً.
ج- جد الصيغة القياسية للعدد (1 + i)² (1 + i√3)³ ثم جد الجذور التكعيبية.
الحل:
(1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i
(1+i√3)³ = (2cis(π/3))³ = 8cis(π) = -8
إذن العدد = (2i)(-8) = -16i
الصيغة القطبية: -16i = 16cis(-π/2)
الجذور التكعيبية: 2cis((-π/2 + 2kπ)/3), k=0,1,2 ✔
السؤال الخامس:
أ- حل المعادلة التفاضلية: dy/dx + e^(x+2y) = 0 , y(0)=0.
الحل:
نفترض u = e^(2y) ⇒ du/dy = 2e^(2y)
المعادلة: dy/dx = -e^(x+2y)
نفصل المتغيرات: e^(-2y) dy = -e^x dx
بالتكامل: (-1/2)e^(-2y) = -e^x + C
عند (0,0): (-1/2)(1) = -1 + C → C = 1/2
إذن الحل: e^(-2y) = 2e^x - 1 ✔
ب- جد معادلة القطع الناقص المتمركز في نقطة الأصل والذي يمر برؤوس القطع الزائد 9y² - 16x² = 144، وطوله على محور السينات 12 وحدة.
الحل:
معادلة القطع الناقص: x²/a² + y²/b² = 1
الطول على محور السينات = 2a = 12 ⇒ a = 6
البؤر للقطع الزائد عند (±√(16²+...)) ولكن نكتفي بشرط يمر بالنقطة.
باختيار النقطة (0, ±12) نجد b = 12.
إذن المعادلة: x²/36 + y²/144 = 1 ✔
ج- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة للقطع المكافئ y=4x² والمستقيمين y=0 و y=16 حول محور الصادات.
الحل:
نستخدم طريقة الأسطوانات: x² = y/4 ⇒ x = √(y/4).
الحجم = ∫₀¹⁶ π(√(y/4))² dy
= ∫₀¹⁶ π(y/4) dy = (π/4)(y²/2)|₀¹⁶
= (π/8)(256) = 32π ✔
السؤال السادس:
أ- إذا كان (1 + √-9) أحد جذري المعادلة x² - 3x - 2xi + a = 0 , a ∈ C.
جد قيمة a وما هو الجذر الآخر؟
الحل:
الجذر = 1 + 3i
مجموع الجذرين = 3 (من المعامل -b/a).
إذن الجذر الآخر = 2 - 3i
بإيجاد a: حاصل الضرب = c/a = a
(1+3i)(2-3i) = 2 -3i +6i -9i² = 11 +3i
إذن a = 11+3i ✔
ب- أوجد:
1) ∫(1+cos3x)² dx
(1+cos3x)² = 1 + 2cos3x + cos²3x
= 1 + 2cos3x + (1+cos6x)/2
= 3/2 + 2cos3x + (1/2)cos6x
بالتكامل: (3/2)x + (2/3)sin3x + (1/12)sin6x + C ✔
2) ∫₀¹ (3x²+4)/(x³+4x+1) dx
نفرض u = x³+4x+1 ⇒ du = (3x²+4) dx
التكامل = ∫ du/u = ln|u|
من 0 إلى 1: ln(1³+4(1)+1) - ln(0+0+1) = ln6 - ln1 = ln6 ✔
3) ∫₀³ |2x-4| dx
2x-4 = 0 عند x=2.
التكامل = ∫₀² (4-2x) dx + ∫₂³ (2x-4) dx
= [4x - x²]₀² + [x² -4x]₂³
= (8-4) - 0 + (9-12 - (4-8)) = 4 + 1 = 5 ✔
ج- جد أقل محيط ممكن لمستطيل مساحته 25cm².
الحل:
لكي يكون المحيط أقل ما يمكن، يجب أن يكون المستطيل مربعاً.
طول الضلع = √25 = 5 cm
المحيط = 4 × 5 = 20 cm ✔