الحل:

الفقرة A:

• |Z| = √((-1)² + (√3)²) = √(1+3) = 2
• arg(Z) = tan^-1(√3 / -1) = tan^-1(-√3) = 120° = 2π/3
• إذن: Z = 2 (cos(2π/3) + i sin(2π/3))
• أما Z فيكون: 2 (cos(-2π/3) + i sin(-2π/3))
• تمثيلهما على محور أرجاند: النقطة الأولى في الربع الثاني والثانية في الربع الثالث.

الفقرة B:

• البعد بين البؤرتين = 8 ⇒ c = 4
• المعادلة: x²/a² + y²/b² = 1 ، حيث a هو نصف المحور الأكبر
• شرط القطع الناقص: MF1 + MF2 = 2a
• أعطيت المسافة = 24 ⇒ 2a = 24 ⇒ a = 12
• إذن طول المحور الأكبر = 2a = 24

الحل:

الفقرة A:

• V = πr²h , حيث r = 5 cm
• dV/dt = π(25) dh/dt
• 5 = 25π dh/dt ⇒ dh/dt = 5/(25π) = 1/(5π) cm/s
• إذن معدل الارتفاع = 1/(5π)

الفقرة B:

• المستقيم يقطع محور y فقط ⇒ يوازي محور x
• المعادلة: y = k , حيث k عدد ثابت ≠ 0

الحل:

الفقرة A:

• من أجل التماس مع المحور x: المميز Δ = 0
• Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(k) = 16 - 4k
• 16 - 4k = 0 ⇒ k = 4

الفقرة B:

• المساحة = ∫ (f(x) - (-4)) dx بين الجذور
• بعد التعويض والتكامل يمكن إيجاد القيمة الدقيقة.

الحل:

الفقرة A:

• f′(x) = 2x - a/x²
• f′′(x) = 2 + 2a/x³ > 0 أو < 0
• لكن عند نقاط الانعدام لا يتحقق تغير في الإشارة ⇒ لا يوجد عظمى محلية.

الفقرة B:

• المسافة = ∫ v(t) dt من 0 إلى 5
• ∫ (50t - 3t²) dt = [25t² - t³] من 0 إلى 5 = 25(25) - 125 = 625 - 125 = 500 km

الحل:

الفقرة A:

• f(-x) = 2 sin(-x) + cos(-2x) = -2 sin(x) + cos(2x)
• f(-x) ≠ f(x) و f(-x) ≠ -f(x) ⇒ ليست زوجية ولا فردية

الفقرة B:

• التكامل الأول: ∫ (√(x - x²) / (4x³)) dx
• التكامل الثاني: ∫ cos(x)/√(sin(x)) dx = 2√(sin(x))
• التكامل الثالث: ∫ (sec³x + e^sinx)/secx dx = ∫ (sec²x + e^sinx cosx) dx = tanx + e^sinx

الحل:

الفقرة A:

• ليكن العددان x و y ، حيث x+y=75
• نريد تعظيم P = x·y²
• بالتفاضل: P′ = 0 يعطي الحل الأمثل عند y=50, x=25

الفقرة B:

• Z = (√2 + i√2)⁶ = (2√2 (cos(π/4)+i sin(π/4)))⁶
• = (2√2)⁶ (cos(6π/4) + i sin(6π/4))
• = (64·8) (cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = 512(0 - i)
• Z = -512 i

الفقرة C:

• المستوى المماس معادلته مشتقة ضمنية: 2x(x - x₀) + 2y(y - y₀) - 2z(z - z₀)=0
• وهذا المستوى عمودي على متجه الموضع (x₀,y₀,z₀)
• إذن المستوى عمودي على نصف القطر.